e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

erikmnacakanyan on

e թիվ – բնական լոգարիթմի հիմքը, մաթեմատիկական հաստատուն, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թիվ։ Երբեմն e-ն անվանում են Էյլերի թիվ կամ Նեպերի թիվ։ Նշանակվում է լատինական «e» փոքրատառով։

e թիվը կարևոր դեր է կատարում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

Քանի որ e^x ցուցչային ֆունկցիայի ինտեգրալը և դիֆերենցիալը հավասար են հենց իրեն, այդ իսկ պատճառով e հիմքով լոգարիթմները ընդունվում են որպես բնական։

Տնտեսական առումով e թիվը նշանակում է առավելագույն հնարավոր տարեկան եկամուտ 100% տարեկան աճի դեպքում և տոկոսի կապիտալիզացիայի առավելագույն հաճախություն։

Որոշման եղանակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

e թիվը կարող է որոշվել մի քանի եղանակներով։

  • Սահմանի միջոցով՝

e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x (երկրորդ նշանավոր սահմանը)։

  • Որպես շարքի գումար՝

e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} կամ {\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}e = 2 + \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} :

  • Որպես միակa թիվ, որի համար տեղի ունի՝

∫1=1\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1 :

  • Որպես միակ դրականa թիվ, որի համար ճիշտ է՝

\frac d {dt} a^t = a^t :

e թվի արժեքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

e = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Ստորակետից հետո e թվի առաջին 1000 նիշերը[1]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • \frac{de^x }{dx} = e^x ։

Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ,\frac{df(x)}{dx} = f(x) դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է\!f(x) = c e^x ֆունկցիան, որտեղ c-ն կամայական հաստատուն է։

  • e թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շարլ Էրմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ e-ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

erikmnacakanyan on

Տարամիտություն և զուգամիտություն , մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնցով անվանվում են տվյալ փոփոխական մեծության վերջավոր սահման ունենալը (զուգամետ) կամ չունենալը (տարամետ)։ Այս իմաստով են հասկացվում հաջորդականության, շարքի, անվերջ արտադրյալի, անիսկական ինտեգրալի տարամիտություն և զուգամիտություն։ Ասում են, որ [an] հաջորդականությունը զուգամիտում է a-ին, եթե liman = a։ Զուգամիտության հասկացությունն արդարացվում է, օրինակ, այն դեպքերում, երբ մաթեմատիկական որևէ օբյեկտ ուսումնասիրելիս կառուցվում է որոշ իմաստով ավելի պարզ այնպիսի օբյեկտների հաջորդականություն, որոնք հետզհետե մոտենում են տրվածին։ Այսպես, օրինակ, շրջանագծի երկարությունը սահմանելու և ցանկացած մոտավորությամբ հաշվելու համար օգտվում են շրջանագծին ներգծած կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերի հաջորդականությունից։ Միևնույն մեծությունը կարելի է ներկայացնել տարբեր շարքերով։ Ուստի կարևոր նշանակություն ունի շարքի զուգամիտման «արագությունը», որի համար տրվում են տարբեր սահմանումներ, օրինակ, եթե Гп-ը և pn-ը երկու զուգամետ շարքերի մնացորդներ են և lim !ճ=0, ապա առաջին շարքը զուգամիտում է ավելի արագ։ Գոյություն ունեն շարքերի զուգամիտումը «լավացնելու», այսինքն՝ տվյալ շարքն ավելի արագ զուգամիտող շարքով փոխարինելու տարբեր եղանակներ։ Եթե {an} հաջորդականության անդամները պատկերենք որպես թվային ուղղի կետեր, ապա այդ հաջորդականության զուգամիտումն a-ին կնշանակի, որ ո-ը աճելիս an և a կետերի միջև հեռավորությունը ցանկացած չափով փոքրանում է։ Այս իմաստով տարամիտություն և զուգամիտություն հասկացություններն ընդհանրացվում են հարթության և տարածության կետերի, ընդհանրապես այնպիսի օբյեկտների հաջորդականության դեպքում, որոնց համար այս կամ այն իմաստով սահմանվում են հեռավորության, նորմայի, շրջակայքի հասկացություններ։ Ֆունկցիաների հաջորդականության համար սահմանվում են տարբեր իմաստներով զուգամիտություններ, զուգամիտություն որևէ կետում, բազմության վրա, բազմության վրա գրեթե ամենուրեք, բազմության վրա հավասարաչափ, ըստ չափի և այլն։ Արդի մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում դիտարկվում են նաև զուգամիտություններ ըստ նորմայի, թույլ, ըստ մասնակիորեն կարգավորյալ բազմության, ըստ հավանականության ևն։ Տարամետ շարքերը նույնպես լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայում և նրա կիրառություններում, տարբեր եղանակներով նրանց վերագրելով ընդհանրացված իմաստով գումարներ (տես շարքերի գումարման մեթոդներ)։

ԸՆԴՀԱՏՎՈՂ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԸ. ՍԱՀՄԱՆԸ ԳՈՅՈՒԹՅՈՒՆ ՉՈՒՆԻ |

erikmnacakanyan on

Սահմանը գտնելը

  • Խնդիրը նրանում է գտնել f(x)-ի սահմանը, երբ x-ը մոտենում է 2-ին:
  • Դիտարկվում է երկու դեպք՝ երբ x-ը ձախից մոտենում է 2-ին և երբ x-ը աջից մոտենում է 2-ին:

Սահմանը գտնելը

  • Խնդիրը նրանում է գտնել f(x)-ի սահմանը, երբ x-ը մոտենում է 2-ին:
  • Դիտարկվում է երկու դեպք՝ երբ x-ը ձախից մոտենում է 2-ին և երբ x-ը աջից մոտենում է 2-ին:

Ֆունկցիոնալ ընդմիջում

  • Այս դեպքում առկա է ֆունկցիայի ընդհատում, քանի որ ձախ և աջակողմյան սահմանափակումները տարբեր նշանակություն ունեն:
  • Ֆունկցիայի ընդհատումը կարող է գրաֆիկորեն ներկայացվել որպես թռիչք:

ՍԱՀՄԱՆՆ ԸՍՏ ԳՐԱՖԻԿԻ. ԱՍԻՄՊՏՈՏ | ՄԱԹԱՆԱԼԻԶ | 

erikmnacakanyan on

Սահմանի սահմանում

  • F(x)-ի սահմանը, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին, նշանակում է, որ f(x)-ի արժեքը հակված է որոշակի արժեքի, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին:
  • Կարևոր է նշել, որ գործառույթը կարող է չսահմանվել այս արժեքով, բայց սահմանը դեռ կարող է սահմանվել:

Օրինակներ

  • Տեսանյութում բերված են ֆունկցիայի սահմանը հաշվարկելու օրինակներ, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին:
  • Ֆունկցիայի արժեքը ցույց է տրվում, որ մոտենում է դրական վեցին, երբ x-ը մոտենում է մինուս չորսին:

ՍԱՀՄԱՆՆ ԸՍՏ ԳՐԱՖԻԿԻ. ՖՈՒՆԿՑԻԱՆ ՈՐՈՇՎԱԾ ՉԷ

erikmnacakanyan on

Սահմանի սահմանում

  • F(x)-ի սահմանը, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին, նշանակում է, որ f(x)-ի արժեքը հակված է որոշակի արժեքի, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին:
  • Կարևոր է նշել, որ գործառույթը կարող է չսահմանվել այս արժեքով, բայց սահմանը դեռ կարող է սահմանվել:

Օրինակներ

  • Տեսանյութում բերված են ֆունկցիայի սահմանը հաշվարկելու օրինակներ, երբ x-ը մոտենում է բացասական չորսին:
  • Ֆունկցիայի արժեքը ցույց է տրվում, որ մոտենում է դրական վեցին, երբ x-ը մոտենում է մինուս չորսին: